Основы радиоэлектроники и связи

2. Характеристики детерминированных сигналов : 2.3. Чаcтотные характеристики непериодических сигналов

2.3.1 Пара преобразований Фурье. Спектральная плотность сигнала

Пусть сигнал s(t) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t₁ ,t₂) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T, включающий в себя интервал (t₁ ,t₂) (см. рис.1).

Рис. 1

Обозначим периодический сигнал, полученный из s(t), в виде s_T(t). Тогда для него можно записать ряд Фурье

где

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s(t) следует в выражении s_T(t) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n2p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю ( к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным.

При предельном переходе в случае Т=> , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

т.е.

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности:

(**)

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S(w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004