$Математика$	Основы радиоэлектроники и связи
2. Характеристики детерминированных сигналов : 2.5. Операторная форма представления сигналов

2.5.3 Определение оригинала по изображению

Для определения оригинала по изображению самым общим (и самым сложным) методом является взятие интеграла обратного преобразования Лапласа:

18.bmp (6502 bytes)

Рис. 1

Величина С>0 в пределах интеграла ограничивает на комплексной плоскости область интегрирования (рис.1). Значение постоянной С определяется характером функции S(p)e^pt: путь интегрирования (на рис.1 он проходит по прямой С-j , C+j ) должен проходить правее полюсов этой функции.

Можно вместо прямого пути интегрирования образовать замкнутый контур (пунктир на рис.1) добавлением дуги конечного радиуса, причем величина этого радиуса должна быть такова, чтобы в контуре интегрирования оказались бы все полюса функции S(p). Для функций s(t),определенных для t>0, контур должен быть расположен в левой полуплоскости.

Получение оригинала в этом случае сводится к определению:

где - сумма вычетов в полюсах функции S(p).

Вычет определяется следующим образом.

При наличии полюсов изображение всегда можно представить в виде отношения двух полиномов

Полюсами функции S(p) будут корни уравнения W(p)=0, т.е. нули знаменателя.

Если функция S(p) имеет в точке p₁простой полюс, то

Если полюс p₁ имеет кратность m (m - целое положительное число), то

Более простым способом является использование таблиц соответствия оригинал-изображение для некоторых функций. В таблице 1 даны эти соответствия для некоторых часто встречающихся в радиоэлектронике сигналов.

Таблица 1

Оригинал (t>0)	Изображение
d (t)	1
A
e^- ^{a t}
1- e^- ^{a t}
t
te^- ^{a t}
sin w t
cos w t
e^- ^{a t} cos w ₀t

В справочниках можно найти более полные таблицы. Однако не всегда можно сразу обратиться к таблице. В этом случае можно провести такие алгебраические преобразования изображения, чтобы привести его к табличным функциям.