Основы радиоэлектроники и связи

2. Характеристики детерминированных сигналов : 2.7. Радиосигналы

2.7.6 Аналитический сигнал

Действительный квазигармонический узкополосый сигнал

где и -медленно меняющиеся огибающая и фаза, можно записать по формуле Эйлера в виде

или

Функция под знаком Re и представляет собой аналитический сигнал (АС)

Здесь является комплексной медленно-меняющейся во времени амплитудой.

Аналитический сигнал как комплексную функцию можно записать так

где - сопряженный по Гильберту сигнал.

Если действительный сигнал имеет спектральную плотность , то спектральная плотность АС содержит только положительные частоты .

Действительно, так как

,

а при w< 0 и при w> 0 (исходя из определения Гильберта для гармонического сигнала), то

На рис.18 показано соотношение между амплитудными спектрами действительного и соответствующего ему аналитического сигнала.

Рис. 18

Для анализа прохождения УПС через избирательные цепи иногда используют не спектральную плотность АС, а спектральную плотность его комплексной огибающей . Она равна спектральной плотности АС, смещенной на частоту ,т.е. (см. рис.19).

Рис. 19

Корреляционная функция АС определяется как интеграл от комплексных функций:

где - автокорреляционная функция комплексной огибающей сигнала.

Отсюда видно, что автокорреляционная функция аналитического сигнала представляет собой высокочастотную функцию, огибающая которой равна автокорреляционной функции комплексной огибающей.

Учитывая связь автокорреляционной функции и спектральной плотности сигнала, можно записать

Чтобы определить автокорреляционную функцию действительного узкополосного сигнала достаточно выполнить операцию

Если УПС имеет только медленно изменяющую амплитуду (АМ – колебания), то

.

Пример:

определим автокорреляционную функцию радиоимпульса вида ( рис. 20, а )

а) б)

Рис. 20

Автокорреляционная функция огибающей имеет вид симметричного относительно треугольника. Сама же АКФ представляет собой гармоническую функцию внутри этого треугольника: (Рис.20,б).

Появление ещё дополнительного медленного изменения фазы (или мгновенной частоты ) приводит к более сложной форме АКФ огибающей, чем при АМ. Примером может служить АКФ импульса с линейным изменением частоты, аналитическое выражение которой имеет вид

.

Рис. 21

Ширина главного лепестка на уровне половинной мощности (см. рис.21) уже ширины АКФ импульса без внутренней частотной модуляции.

Использование понятий “аналитический” сигнал и “комплексная” амплитуда нашли широкое применение в анализе прохождения через радиоэлектронные цепи узкополосных сигналов.

Анализ прохождения радиосигнала через линейную цепь заменяется анализом прохождения комплексной огибающей, что   позволяет решать вместо интегро-дифференциальных уравнений алгебраические.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004