Основы радиоэлектроники и связи

4. Элементы статистической радиотехники : 4.1. Случайные процессы в радиотехнике

4.1.5 Примеры случайных процессов

1. Гармоническое колебание со случайной амплитудой

   Пусть

   

   где и -постоянные величины; -случайная величина, имеющая равномерную плотность вероятности в интервале от 0 до (рис.3)

   

   Рис. 3

   В момент времени мгновенное значение сигнала может быть любым в интервале от 0 до Поэтому

   

   График имеет вид рис.4.

   

   Рис. 4

   Математическое ожидание

   

   Соответствующие вычисления интегралов дают

   

   Как видно из приведенных соотношений, первые два момента случайного процесса зависят от времени, следовательно этот процесс нестационарный, и, следовательно, неэргодический.

2. Гармоническое колебание со случайной фазой.

где - случайная величина, равновероятная в пределах . Плотность вероятности такого случайного процесса равна

Одна из реализаций имеет вид

где -полная фаза. - также случайная величина, плотность вероятности которой имеет тот же вид

Определим вероятность того, что в промежутке времени от до мгновенное значение сигнала окажется в интервале (рис.5):

Рис. 5

Эта вероятность совпадает с вероятностью попадания случайной фазы в интервалы на периоде, которая в свою очередь равна

Таким образом,

откуда

Так как

имеем

График этой функции имеет вид, показанный на рис.6.

Рис. 6

Так как плотность вероятности не зависит от , то этот процесс является стационарным с математическим ожиданием

причем ту же величину можно получить путем усреднения по времени одной реализации:

что указывает на эргодичность процесса. Корреляционная функция этого процесса равна

где . Она также не зависит от положения и .

3) Нормальный (гауссовский) случайный процесс.

Такой случайный процесс характерен для помех канала связи. Одномерная плотность вероятности стационарного эргодического нормального случайного процесса определяется выражением

Чем больше , тем меньше максимум, кривая (рис. 7) более полога,

Рис. 7

причем всегда т.е. площадь под кривой равна 1 для любых .

Широкое распространение нормального закона распределения обьясняется тем, что при сложении большого числа независимых случайных слагаемых распределение суммы близко к гаусовскому при любом законе распределения отдельных слагаемых (центральная предельная теорема). Для гаусовского случайного процесса с нулевым средним вероятность того, что модули значений случайной величины превысят

величину 3 составляет , т.е. полный размах такого случайного процесса не превышает 6. Отношение максимумов отклонения случайной величины (пиков) к называют пик-фактором случайного сигнала. Для гаусовского шума он равен 3,а для гармонического сигнала со случайной фазой .

Знание не дает полного представления о поведении случайного сигнала во времени. Медленно меняющаяся и быстро меняющиеся случайные функции могут иметь одинаковые плотности вероятности, что отражено на рис. 8.

а)                                                                  б)

Рис. 8

Для оценки этих свойств используют корреляционные функции. Для случая, показанного на рис.8,а а для рис.8,б

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004