Основы радиоэлектроники и связи

6. Дискретная обработка сигналов : 6.1. Дискретизация аналоговых сигналов

6.1.3 Спектр дискретизированного сигнала

Будем считать заданной спектральную плотность аналогового сигнала . Дискретизированный с шагом Т сигнал можно определить выражением

,

где y_T(t) – периодическая с периодом Т последовательность коротких прямоугольных импульсов с амплитудой А₀, длительность которых много меньше периода: .

Представим последовательность y_T(t) в виде действительного ряда Фурье, коэффициенты которого определялись ранее:

,

где . Отсюда

.

Первому слагаемому в правой части соответствует спектральная плотность с масштабируемым множителем , а каждому из произведений - спектральная плотность .

Таким образом спектральная плотность дискретизированного сигнала имеет вид:

.

Графики АЧХ спектральных плотностей и изображены на рис.5 при .

Рис. 5

Размерность спектральной плотности аналогового сигнала [сигнал/частота], а размерность спектральной плотности дискретизированного сигнала просто [сигнал]. Из рис.5 и соотношения для видно, что спектр дискретизированного сигнала представляет собой последовательность спектров исходного сигнала s(t), сдвинутых один относительно другого на частоту и убывающих по закону .

Если шаг выборок , то отдельные спектры не перекрываются и могут быть разделены с помощью фильтров. На практике величину Т берут в несколько раз меньше , что необходимо для повышения точности (“хвосты” !) и облегчения работы фильтров.

С уменьшением длительности импульсов отдельные спектры убывают медленнее, и в пределе при , спектр дискретизированного сигнала представляет строго периодическую структуру. Если одновременно с уменьшением увеличивать амплитуду А₀, так чтобы , то последовательность y_T(t) примет вид последовательности дельта-импульсов: .

Тогда

,

а так как спектральная плотность периодической последовательности импульсов равна , то в частотной области получаем

Такое идеализированное представление спектра дискретизированного сигнала существенно упрощает анализ обработки дискретных и цифровых сигналов.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004