Основы радиоэлектроники и связи

10. Автогенераторы гармонических колебаний : 10.1. Автогенераторы с внешней обратной связью

10.1.3 Линейная модель возбуждения автогенератора

Математическое описание процесса возбуждения автогенератора гармонических колебаний рассмотрим на примере простой, удобной для понимания, схемы АГ с трансформаторной обратной связью, представленной на рис. 2.

Рис. 2

Резисторы R1 и R2 обеспечивают необходимое (в точке максимальной крутизны) смещение перехода база-эмитер, за счет взаимоиндукции М катушек обеспечивается обратная связь. Направление витков вторичной катушки должно быть таким, чтобы обеспечивалась поддержка колебаний. Для переменных токов и напряжений с учетом неравенств r_бэ <<R1 II R2 и r_кэ >> Rк , где Rк – сопротивление контура на резонансной частоте, принципиальную схему АГ можно представить в виде рис. 3.

Рис.3

Точками на схеме показаны начала намотки катушек, обеспечивающие правильное направление обратной связи. Переменные определяют токи и напряжения без учета их постоянных величин.

При возникновении колебаний амплитуды токов и напряжений настолько малы, что в окрестности рабочей точки ВАХ транзистора (рис. 4) можно считать линейной с крутизной S, а сам транзистор можно представить линейной моделью (рис. 5).

Пусть в момент включения источника питания (t=0) на контуре возникает небольшое начальное возмущение , т.е. Uкэ (0)=Uкэ,А + Uкэ,нач. В соответствии с 1-м законом Кирхгофа имеем

Выразим все токи через напряжение на контуре .Так как

то

После дифференцирования и преобразования получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

или

где - эквивалентное затухание, состоящее из собственного затухания контура и вносимого “отрицательного” затухания за счет усилителя и обратной связи,

– резонансная частота контура.

При достаточно высокой собственной добротности контура решение уравнения имеет вид:

,

где постоянная интегрирования А определяется из начального условия .

Действительно, при t=0 имеем .

Таким образом,

При процесс носит затухающий характер, при - колебания имеют постоянную амплитуду U_кэ,нач , а при - колебания нарастают (см. рис.6).

Рис.6

Следовательно, для возбуждения колебаний в АГ необходимым условием является наличие отрицательного эквивалентного затухания, т.е. .

Так как

то неравенство можно преобразовать к виду:

Величина SR_к определяет модуль коэффициента усиления на резонансной частоте усилителя К₀, а величина определяет модуль коэффициента передачи цепи обратной связи. Таким образом, условие возбуждения можно записать как неравенство ,которое может быть отнесено к любому типу АГ с внешней обратной связью.

Полученные соотношения справедливы лишь для тех токов и напряжений, при которых проходная ВАХ транзистора может быть аппроксимирована линейной функцией. Однако при нарастании колебаний настает момент, когда дифференциальное уравнение из линейного превращается в нелинейное: крутизна не остается постоянной, а становится функцией амплитуды (см. рис. 7). Процесс нарастания амплитуды замедляется, а затем и прекращается, наступает стационарный процесс.

Рис. 7

При переходе к стационарному режиму из-за нелинейности форма тока отличается от гармонической, но благодаря избирательности контура напряжения на коллекторе и базе имеют форму гармонического колебания.

В период перехода к стационарному режиму дифференциальное уравнение становится нелинейным: параметр зависит от величины .

Точных аналитических методов решений нелинейных дифференциальных уравнений для произвольной нелинейности не существует. Можно использовать численные методы. Учитывая тот факт, что колебания напряжений близки к гармоническим, используют так называемые квазилинейные методы или метод гармонического баланса. В этом случае оперируют не с мгновенными значениями токов и напряжений, а с их комплексными амплитудами, не с мгновенными значениями крутизны, а ее значением, приведенным к первой гармонике тока (средней за период колебаний), причем в общем случае эта приведенная крутизна может иметь комплексный характер из-за инерционных свойств транзистора и других факторов.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004