$Математика$	Основы радиоэлектроники и связи
2. Характеристики детерминированных сигналов : 2.3. Чаcтотные характеристики непериодических сигналов

2.3.4 Примеры. Одиночный прямоугольный импульс. Экспоненциальный импульс. Гауссов импульс

Пусть дан прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью t . На оси времени он задан положением середины импульса t₀ (рис.3).

rswbcd3.gif (1392 bytes)

Рис. 3

Тогда аналитически сигнал можно описать следующим образом.

Определим выражение для спектральной плотности.

Если это выражение разделить на Т и подставить вместо w частоту nw ₁ , то получим уже известное выражение для АЧС последовательности прямоугольных импульсов:

Нули модуля спектральной плотности расположены на частотах w =2p k/t , где k=± 1,± 2,... На частоте w =0 спектральная плотность равна S( 0 )=At .

На рис.4 изображены графики АЧХ и ФЧХ прямоугольного импульса с учетом знака синуса.

rswbcd4.png (21783 bytes)

Рис. 4

Полная энергия импульса равна

Энергия сигнала, ограниченного первым лепестком спектральной плотности, составляет 90% мощности прямоугольного импульса.

Определим спектральную плотность экспоненциального импульса вида

изображенного на рис.5.

rswbcd5.gif (2444 bytes)

а) б)

Рис. 5

В этом случае

Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис.5,б. На частоте w =0 S(0)=A/a ; при w <<a ; при w >> a ; на частоте w = a . Таким образом, спектральная плотность экспоненциального импульса не имеет нулей и плавно уменьшается с увеличением частоты.

Колоколообразный (гауссовский) импульс определяется выражением

Во временной области он изображен на рис. 6а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню е^{-1/ 2} от амплитуды.

Спектральная плотность определяется через интеграл Фурье:

После замены переменных:

где

интеграл приводится к виду

причем

Окончательно получаем

где

Таким образом, спектральная плотность гауссовского импульса является действительной функцией частоты (j _s=0) (т.к. сигнал задан четным образом), модуль которой также является гауссовским импульсом (рис. 6б).

а) б)

Рис. 6

Т.е. гауссовскому спектру соответствует гауссовский импульс, причем чем шире полоса спектра, определяемая на уровне е^{-1/
2} от максимума величиной b, тем уже условная длительность импульса, определяемая величиной а=1/b, и наоборот.