Основы радиоэлектроники и связи

4. Элементы статистической радиотехники : 4.5. Основы теории обнаружения и различения сигнала на фоне помех

4.5.5 Оптимальное различение полностью известных сигналов

Для задач различения обоснованным является применение критерия идеального наблюдателя. Пусть принятое колебание представляет собой сумму:

Здесь n(t) – гауссовский белый шум, s₁(t) , s ₂(t) – детерминированные сигналы. Параметр l может принимать одно из двух значений: l =1 – присутствует только сигнал s₁(t) , l =0 – присутствует только сигнал s₂(t) . Априорные вероятности присутствия каждого из сигналов известны. По принятой реализации нужно решить, какое именно значение имеет параметр l , т.е. какой из сигналов присутствует в реализации.

Если алгоритм обнаружения полностью известного сигнала на фоне белого гауссовского шума состоит в вычислении корреляционной функции и сравнения ее с порогом, то в случае задачи различения приемник, работающий по критерию идеального наблюдателя, должен состоять из двух корреляторов, вычисляющих значение и , вычитающего устройства, определяющего разность и порогового устройства, на выходе которого принимаются решения: если q>0 , то на выходе есть сигнал s₁(t) , если q<0 , то есть сигнал s₂(t) (см. рис. 3).

Сам алгоритм принятия решения можно записать следующим образом:

.

Если в u(t) присутствует сигнал s₁(t) , то

где - мощность сигнала s₁(t) на интервале 0,T. Если в принятом сигнале u(t) присутствует s₂(t) , то

где - мощность сигнала s₂(t) на интервале 0, Т. Интеграл характеризует коэффициент взаимной корреляции при нулевом сдвиге сигналов s₁(t) и s₂(t) .

Как показывает анализ, при равных мощностях сигналов E₁=E₂=E , равных вероятностях наличия первого или второго сигнала, плотности вероятности p₁(q) и p₂(q) имеют нормальный закон распределения с математическими ожиданиями m₁ , m ₂ и дисперсиями D₁ и D₂ , причем

где .

Графики p₁(q) и p₂(q) изображены на рис. 4

Общий участок значений q (заштрихованная область) определяет условные вероятности принятия решения о наличии одного сигнала, когда в действительности присутствует другой. Они определяют вероятность ошибки в принятом решении.

Величина h=m ₁-m ₂ определяет порог принятого решения. Вероятность суммарной ошибки будет равна:

,

где Ф(x) интеграл вероятности.

Меньшей вероятностью ошибки p_l обладают сигналы, для которых интервал взаимной корреляции минимален. Если r_s=0 , то сигналы ортогональны, при r_s=1 имеет место равенство s₁(t)=s₂(t) , а при r_s=-1 , – s₁(t)=-s₂(t) . Лучше всего различать сигналы, имеющие r_s=-1 . В этом случае говорят, что сигналы обладают наибольшей помехоустойчивостью при заданном отношении сигнал/шум (E/N₀ ) . Ясно, что чем меньше высота перекрытия, определяющего область неправильного принятия решения, тем больше вероятность ошибки. Линиями потенциальной помехоустойчивости называют кривые, характеризующие зависимость вероятности ошибки p_l от отношения сигнал/шум в оптимальном приемнике. На рис. 5 показаны такие кривые для детерминированных амплитудно-, частотно-, и фазо-манипулированных сигналов.

Для амплитудно-манипулированных сигналов

В этом случае на основе критерия идеального наблюдателя нужно решить задачу обнаружения сигнала s₁(t) на фоне шума. При этом

При априорных вероятностях наличия и отсутствия сигнала, равных 0.5, порог принятия решения При таком пороге вероятность ошибки минимальна и равна

Для частотно - манипулированных сигналов

Коэффициент взаимной корреляции при этом равен

.

На практике величина поэтому можно принять . Тогда вероятность ошибки будет равна

Для фазоманипулированных сигналов используются сигналы

.

В этом случае и вероятность ошибки равна

.

Сравнивая графики на рис. 5, видим, что при одной и той же энергии сигналов из трех рассмотренных видов манипуляции наибольшей потенциальной помехоустойчивостью обладает фазовая манипуляция.

Смысл рассмотрения оптимального приема детерминированных сигналов на фоне белого шума состоит в том, что результаты решения таких задач можно использовать в качестве теоретических «эталонов», позволяющих получить максимально возможную (потенциальную) помехоустойчивость. Результаты оптимальной обработки сигналов с неизвестными параметрами целесообразно сравнивать с соответствующими результатами для аналогичных сигналов с известными параметрами.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004