Основы радиоэлектроники и связи

4. Элементы статистической радиотехники : 4.6. Основы теории оптимальной (согласованной) фильтрации

4.6.5 Оптимальные сигналы

Для осуществления согласованной фильтрации необходимо так сконструировать фильтр, чтобы его АЧХ и ФЧХ соответствовали принципу оптимальной фильтрации. При этом следует иметь в виду условия физической и практической реализуемости фильтров. Однако, если даже фильтр не удается практически реализовать, имеются два пути приближения к оптимальной обработке. Один из них связан с выбором такого практически осуществимого фильтра, который обеспечивает наибольшее отношение сигнал–шум на выходе. Другой путь связан с подборкой таких сигналов, для которых получаются сравнительно легко реализуемые фильтры. Иначе говоря, чтобы обеспечить наилучший общий результат, нужно одновременно заниматься как построением согласованных фильтров, так и подбором оптимальных форм сигналов.

Пусть обнаружение сигнала производится на фоне белого шума с постоянной спектральной плотностью N₀ . Поставим задачу о выборе оптимальной формы спектра излучаемого сигнала (вида модуляции), обеспечивающего наибольшее отношение сигнал–шум на выходе. Если в качестве фильтра используется цепь с равномерной АЧХ в полосе частот сигнала, то очевидно, что он будет согласованным с сигналом, если сигнал также будет иметь равномерную спектральную плотность. Формирование сигнала конечной длительности (импульса) со строго равномерным спектром в заданной полосе частот невозможно. Однако можно получить хорошее приближение, используя псевдошумовые сложные сигналы, сигналы  с внутриимпульсной частотной модуляцией, например, с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). Подобный сигнал изображен на рис 8,а, а закон изменения его частоты – на рис. 8,б.

Рис. 8

Мгновенная частота заполнения радиоимпульса соответствует выражению:

где t - длительность импульса, f _Д – амплитуда изменения (девиация) несущей частоты, b - скорость изменения частоты.

Мгновенное значение сигнала внутри импульса имеет вид:

Произведение 2f _Д t=B определяет базу ЛМЧ сигнала. С учетом этого обозначения имеет место:

Спектральная плотность такого сигнала равна:

Первое слагаемое полученного выражения определяет всплеск спектральной плотности вблизи частоты w =w ₀ , а второе – вблизи частоты w =-w ₀ . Поскольку АЧХ – функция четная, рассмотрим только первое слагаемое (положительные частоты).

Дополним до квадрата разности показатель степени:

,

где .

Аналогичное выражение можно получить и для второго слагаемого. Тогда спектральная плотность ЛЧМ импульса будет иметь вид:

,

где - безразмерная переменная,

Интеграл в правой части определяется с помощью интегралов Френеля:

где

Откуда для области частот имеет место следующее:

где АЧХ

;

и ФЧХ:

На рис.9 показаны графики нормированных АЧХ ЛЧМ импульсов для B=10 (а) и B=100 (б).

Рис. 9

При больших базах ЛЧМ импульса форма АЧХ приближается к прямоугольной, а ширина спектра ближе к величине . Из выражения для ФЧХ видно, что она имеет вид квадратичной параболы. В области отрицательных частот ФЧХ по знаку обратна знаку ФЧХ при положительных частотах. На рис.10 показана структура спектра ЛЧМ импульса на всей оси частот.

Рис. 10

Корреляционная функция на выходе фильтра, согласованного с ЛЧМ импульсом, будет иметь вид

,

что отображено на графике рис.11.

Рис. 11

Огибающая автокорреляционной функции, и следовательно, выходной сигнал на выходе оптимального фильтра, образует очень острый пик (при ), а частота заполнения постоянна и равна центральной частоте . Штрих-пунктирной линией показана огибающая выходного радиоимпульса без частотной модуляции. Ясно, что ошибки обнаружения сигнала с ЛЧМ будут меньше.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004