Основы радиоэлектроники и связи

6. Дискретная обработка сигналов : 6.1. Дискретизация аналоговых сигналов

6.1.2 Дискретизация аналоговых сигналов. Ряд Котельникова

Всякое непрерывное сообщение s(t), занимающее конечный интервал времени Т_с , может быть передано с достаточной точностью конечным числом N отсчетов (выборок) s(nT), т.е. последовательностью коротких импульсов, разделенных паузой.

Дискретизация сообщений по времени – процедура, состоящая в замене несчетного множества мгновенных значений сигнала их счетным (дискретным) множеством, которое содержит информацию о значениях непрерывного сигнала в определенные моменты времени.

При дискретном способе передачи непрерывного сообщения можно сократить время, в течение которого канал связи занят передачей этого сообщения, с Т_с до , где - длительность импульса, применяемого для передачи выборки; можно осуществить одновременную передачу по каналу связи нескольких сообщений (временное уплотнение сигналов).

Наиболее простым является способ дискретизации, основанный на теореме В.А. Котельникова, сформулированной для сигналов с ограниченным спектром (теорема отсчетов):

если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше, чем F_m, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более, чем на секунд и может быть представлена рядом:

Здесь величина обозначает интервал между отсчетами на оси времени, а

- время выборки, - значение сигнала в момент отсчета.

Ряд (1) называется рядом Котельникова, а выборки (отсчеты) сигнала {s(nT)} иногда называют временным спектром сигнала.

Функция

обладает следующими свойствами:

а) в точке t=nT функция равна 1, т.к. в этой точке аргумент функции равен 0, а значение ее равно 1;

б) в точках t=kT, функция , т.к. аргумент синуса в этих точках равен , а сам синус равен нулю;

в) спектральная плотность функции u_n(nT) равномерна в полосе частот и равна . Этот вывод сделан на основе теоремы взаимности частоты и времени пары преобразований Фурье. ФЧХ спектральной плотности линейна и равна (в соответствии с теоремой о сдвиге сигнала). Таким образом,

.

Временное и частотное представления функции u_n(t) даны на рис.3.

Рис. 3

Графическая интерпретация ряда Котельникова представлена на рис.4.

Рис. 4

Ряд Котельникова (1) обладает всеми свойствами обобщенного ряда Фурье с базисными функциями u_n(nT), и поэтому определяет функцию s(t) не только в точках отсчета, но и в любой момент времени.

Интервал ортогональности функции u_n равен бесконечности. Квадрат нормы

.

Коэффициенты ряда, определяемые по общей формуле для ряда Фурье, равны (с использованием равенства Парсеваля):

Так как

следовательно

При ограничении спектра сигнала конечной наивысшей частотой ряд (1) сходится к функции s(t) при любом значении t.

Если взять интервал Т между выборками меньшим, чем , то ширина спектра базисной функции будет больше ширины спектра сигнала, следовательно точность воспроизведения сигнала будет выше, особенно в случаях когда спектр сигнала не ограничен по частоте и наивысшую частоту F_m приходится выбирать из энергетических или информационных соображений, оставляя неучтенными “хвосты” спектра сигнала.

При увеличении расстояния между выборками () спектр базисной функции становится уже спектра сигнала, коэффициенты C_n будут являться выборками другой функции s₁(t), спектр которой ограничен частотой .

Если длительность сигнала T_c конечна, то полоса его частот равна строго бесконечности, т.к. условия конечных длительности и полосы несовместимы. Однако практически всегда можно выбрать наивысшую частоту так, чтобы “хвосты” содержали либо малую долю энергии, либо слабо влияли на форму аналогового сигнала. При таком допущении число отсчетов N на времени Т_с будет равно Т_с/Т, т.е. N=2F_mT_c. Ряд (1) в этом случае имеет пределы 0, N.

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала, или базой сигнала. С увеличением базы точность восстановления аналогового сигнала из дискретного увеличивается.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004