Основы радиоэлектроники и связи

2. Характеристики детерминированных сигналов : 2.4. Свойства преобразований Фурье

2.4.5 Произведение двух сигналов

Пусть сигнал s(t)=f(t)g(t), причем функции – сомножители обладают спектральными плотностями и . Определим спектральную плотность произведения. По определению

Подставим в этот интеграл одну из функций, например g(t), выраженную через ее спектральную плотность, т.е.

тогда получим

Здесь, чтобы не путать переменные интегрирования во внутреннем интеграле, используется величина u для обозначения в нем текущей частоты.

Это выражение можно привести к виду, осуществив перестановку соответствующих членов:

Внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала f(t) на частоте w -u, т.е. . Таким образом,

Такого типа интеграл называется сверткой ( с коэффициентом ) спектров сигналов – сомножителей. Итак, произведению сигналов во временной области соответствует свертка сигналов в частотной области ( свертка спектров с коэффициентом ).

Используем это свойство для определения интеграла от произведения двух временных функций. Для этого достаточно определить свертку спектров при w =0, т.е.

Заменяя u на w , F(- w ) на F^*( w ) , получаем

Если g(t)=f(t), то

Величина определяет спектральную плотность энергии сигнала. Правая и левая части определяют полную энергию сигнала.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004