Основы радиоэлектроники и связи

3. Линейные цепи при произвольных воздействиях : 3.2. Частотный метод анализа

3.2.6 Простейшие фильтры второго порядка

К простешим фильтрам второго порядка относят цепочки, содержащие две реактивности разного знака: индуктивность и емкость. В зависимости от схемы включения контура к источнику сигнала различают последовательный и параллельный колебательный контуры. В последовательном контуре источник сигнала и элементы контура (обычно это конденсаторы и катушки индуктивности) соединены последовательно. Выходное напряжение чаще снимают с конденсатора (см. рис.12).

Рис. 12

Моделью конденсатора является емкость С, катушку индуктивности обычно представляют последовательным соединением индуктивности L и активного сопротивления , отражающего сопротивление провода катушки постоянному току. На схеме рис.12 источник сигнала представлен источником ЭДС e(t) с внутренним сопротивлением .

В параллельном контуре источник сигнала представляют в виде источника тока, параллельно с которым соединены емкость и катушка индуктивности (рис.13).

Рис. 13

Частотный коэффициент передачи определяется при гармоническом сигнале на входе. Определим собственные параметры контуров (при R_c =0 для источника ЭДС и R_c = для источника тока в режиме холостого хода на выходе).

Для последовательного контура, используя комплексный метод, получаем

Для параллельного контура коэффициентом передачи является сопротивление контура, т.к.

В обоих случаях знаменатель определяется полным последовательным сопротивлением контура

На частоте, называемой резонансной, мнимая часть последовательного сопротивления равна нулю, т.е. , откуда получаем известное соотношение (формула Томпсона) .

Величины определяют волновое или характеристическое сопротивление контура, т.е. сопротивление реактивных элементов на резонансной частоте.

Таким образом, на резонансной частоте .

Отношение волнового сопротивления последовательного контура к сопротивлению потерь катушки называют собственной добротностью контура

Соотношения (1) и (2) с учетом введенных обозначений легко преобразуются к виду

где приближенное равенство справедливо для Q>1.

Коэффициент передачи последовательного контура на резонансной частоте равен добротности, т.е. амплитуда выходного напряжения в Q раз больше амплитуды входного. Собственное сопротивление же последовательного контура на резонансной частоте действительно и равно и увеличивается по модулю с изменением частоты влево или вправо от резонансной.

Коэффициент передачи параллельного контура (а, следовательно, и его полное сопротивление) на резонансной частоте максимальны и равны:

С изменением частоты модуль полного сопротивления уменьшается.

При определении характера поведения АЧХ и ФЧХ цепей вблизи резонанса() преобразуем выражение под корнем с учетом следующих обозначений:

,

,

где – абсолютная расстройка частоты сигнала относительно резонансной частоты, - относительная расстройка;

где величина называется обобщенной расстройкой. Тогда вблизи резонанса можно записать

На частотах, соответствующих = 1, коэффициенты передачи в раз меньше резонансных. При = 1, имеем , где абсолютная расстройка, соответствующая этому случаю. Величина называется полосой пропускания контура как полосового фильтра. Отсюда получают второе определение добротности контура в виде отношения резонансной частоты к полосе частот , определяемой на уровне от максимума.

В области низких частот ()

, .

В области высоких частот ()

, .

Рис. 14

На рис.14 показаны АЧХ и ФЧХ последовательного (а) и параллельного (б) контуров.

На границах полосы пропускания ФЧХ имеет значение от значения ФЧХ на резонансной частоте ().

С увеличением добротности полоса пропускания уменьшается (избирательность увеличивается), наклон ФЧХ в полосе пропускания увеличивается.

Легко показать, что конечные значения сопротивления источника сигнала и нагрузки уменьшают добротность системы, расширяя ее полосу пропускания, т.к. при этом увеличивается последовательное сопротивление контура постоянному току. Так как сопротивление в схеме последовательного контура просто складывается с , то добротность оказывается равной . Для определения влияния и в параллельном контуре заменим последовательную модель катушки индуктивности на параллельную (см. рис.15).

Рис. 15

Величины и выразим из равенства:

.

Преобразуем правую часть в обычную алгебраическую форму комплексного числа, избавившись от комплексности в знаменателе:

.

Вблизи резонансной частоты величина , следовательно

откуда .

Кроме того, при Q>1 можно считать, что , поэтому

,

следовательно, .

Собственная добротность контура в схеме рис.15, б определяется как

.

При учете сопротивлений и общее активное сопротивление контура равно меньше сопротивления , следовательно, добротность меньше собственной добротности контура.

Резонансное сопротивление параллельного контура в этом случае определяется как , и, таким образом, меньше самого меньшего из сопротивлений и . Следовательно, чтобы полностью использовать избирательные свойства контура (заданные полосой ), необходимо на входе использовать источник сигнала с большим выходным сопротивлением , и подключать нагрузку с .

При анализе схем с параллельными контурами можно источник тока с большим заменить источником ЭДС с большим (рис.16).

Рис. 16

При характеристики такой схемы будут определяться собственными параметрами контура. В этом случае в контур втекает ток . На резонансной частоте

,

Откуда коэффициент передачи на резонансной частоте по напряжению

.

Поведение же АЧХ и ФЧХ этого коэффициента передачи будет аналогично рассмотренному выше поведению АЧХ и ФЧХ сопротивления параллельного контура с добротностью

 .

Сопротивления и можно с помощью формулы (9) пересчитать в последовательные, которые называют вносимыми сопротивлениями:

; ,

откуда ясен смысл уменьшения добротности при и .

При невозможности выполнить эти требования используют так называемое частичное (неполное) включение контура.

Разновидности схем таких контуров приведены на рис.17.

Рис. 17

Схема рис.17,а называется параллельным контуром второго вида, а рис.17,б – параллельным контуром третьего вида. Полное включение, рассмотренное выше, образует контур первого вида.

Коэффициентом включения называют отношение индуктивности (или емкости), к которым подключен источник (или нагрузка), к полной индуктивности (или емкости) контура. Для схемы рис.17,а ; для схемы рис.17,б .

Резонансное сопротивление контуров с неполным включением определяется как . Вносимые сопротивления также уменьшаются в p ² раз. Поэтому полная добротность системы уменьшается меньше, чем при полном включении, а при очень малых практически не уменьшается (правда ценой значительного уменьшения резонансного сопротивления, и, следовательно, выходного напряжения).

На схеме рис.17,в показано подключение источника и нагрузки к контуру так, чтобы ослабить их шунтирующее действие на контур.

Неполное влючение контура используется также для такого согласования с источником и нагрузкой, при котором в нагрузку передается максимальная мощность. Это возможно при выполнении равенств . При этом добротность контура уменьшается в два раза, а полоса вдвое увеличивается.

Одним из недостатков использования схем с неполным включением является дополнительный электротехнический резонанс напряжений, возникающий в ветви, содержащей емкость и индуктивность.

Эти последовательные резонансы происходят на частотах, отличных от резонансной частоты всего контура. Так для схемы рис.17,а , а последовательный резонанс возникает на частоте ; для схемы рис.17,б , а .

Подбирая коэффициенты включения, можно менять частоты последовательных резонансов так, чтобы они не влияли на прохождение сигналов.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004