Основы радиоэлектроники и связи

3. Линейные цепи при произвольных воздействиях : 3.3. Анализ прохождения сигнала с помощью интегралов наложения (временной метод)

3.3.1 Интегралы Дюамеля (наложения)

Вместо разложения сложного сигнала на сумму гармонических составляющих можно использовать разложение сигнала на ступеньчатые функции или очень короткие импульсы. В этом случае передаточными характеристиками цепи являются переходная g(t) и импульсная h(t) характеристики, введённые в разделе “Передаточные характеристики линейной цепи”.

Задача состоит в том, что бы по известным g(t) или h(t) цепи, определить сигнал на её выходе при произвольном воздействии на входе.

Входной сигнал может быть представлен в виде интегралов:

где s (t) – ступенчатая функция (функция Хевисайда), равная 1 при t> 0 или t=0 и 0 при t< 0, d (t) –дельта-функция (функция Дирака) - бесконечно узкий, бесконечно большой импульс при t=0 и равный нулю во все остальные моменты времени. Таким образом функции s (t-x) и d (t-x) являются элементарными сигналами, смещенными на время x, реакция цепи на которые известна. Величины  и являются весовыми коэффициентами.  

Пусть имеем элементарное воздействие:

Откликом на это воздействие будет переходная характеристика, определяемая в момент времени x, т.е.

Реакция же на начальный скачок есть сигнал . Тогда:

Это и есть одна из форм интеграла Дюамеля. Вторую форму получим аналогично из соотношения (2), считая откликом на элементарное воздействие сигнал вида . Выходной сигнал при этом будет равен

что определяет вторую форму интеграла Дюамеля или наложения. Оба интеграла (3) и (4) представляют собой свёртку временных передаточных характеристик с входным сигналом или его производной.

Графическая интерпретация выражений (3) и (4) показана на рис. 1 а,б.

Рис. 1

На основании принципа суперпозиции для линейных цепей результирующий выходной эффект s_вых(t) равен сумме всех откликов, появившихся на выходе за интервалы времени от 0 до t . При D x® dx, получаем интегралы (3) и (4).

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004