Основы радиоэлектроники и связи

4. Элементы статистической радиотехники : 4.3. Корреляционные характеристики случайного процесса

4.3.1 Связь ковариационной функции с энергетическим спектром

Ширину спектра сигнала определяет максимальная скорость его изменения. С другой стороны, скорость изменения сигнала определяет и ход ковариационной функции, то есть можно утверждать, что W_x(w ) и K_x(t ) взаимосвязаны. Эту связь определили независимо друг от друга ученые Н.Винер и А.Я.Хинчин , поэтому ее называют теоремой Винера-Хинчина. Согласно этой теореме энергетический спектр стационарного случайного процесса и его ковариационная функция связаны прямым и обратным преобразованием Фурье, то есть                     

Для случайных процессов с нулевым средним (m_x=0) вместо K_x(t ) следует поставить корреляционную функцию R_x(t ) .

Из этой связи вытекает свойство, аналогичное свойствам преобразований Фурье для детерминированных сигналов : чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корелляции, и наоборот.

Для белого шума, имеющего в идеализации бесконечно широкий равномерный спектр W(w )=W₀,

.

_{где - дельта-функция.}

Таким образом, такой случайный процесс, как белый шум, имеет корреляционную функцию, равную бесконечности только в точке t = 0, в другие моменты t корреляционная функция равна нулю, поэтому такой шум еще называется дельта -коррелированным процессом.

Если случайный гауссовский процесс с нулевым средним имеет равномерный энергетический спектр в полосе ±w ₁ (рис. 1), то его корреляционная функция равна

Рис. 1

Нормированная корреляционная функция будет равна

Если увеличить полосу частот, например в k - раз, то есть   , то корреляционная функция будет иметь вид

На рис. 2 показаны графики r₁ (t ) и r₂(t ) при k = 5.

Рис. 2

Пусть энергетический спектр процесса имеет вид узкополосного спектра (рис. 3), причем внутри полосы он равномерен и равен W₃. В этом случае

Нормированная корреляционная функция

изображена на рис. 4

Рис. 4

Огибающая r₃(t ) по форме подобна функции r₁(t ), однако имеет вдвое большую протяженность. Высокочастотное заполнение корреляционной функции r₃(t ) имеет частоту w ₀ , равную центральной частоте спектра шума. Это говорит о том, что и мгновенное значение шумового колебания изменяется в среднем с частотой w ₀ , то есть такое шумовое колебание может быть представлено в виде случайного УПС

где - медленно меняющиеся случайные огибающая, фаза и мгновенная частота узкополосного процесса. 

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004