$Математика$	Основы радиоэлектроники и связи
4. Элементы статистической радиотехники : 4.6. Основы теории оптимальной (согласованной) фильтрации

4.6.1 Оптимальный фильтр

Как было показано в предыдущем разделе, основной операцией при оптимальном обнаружении является вычисление функции взаимной корреляции между принимаемым колебанием и ожидаемым сигналом :

Эта операция выполняется взаимокорреляционным устройством (ВКУ), которое состоит из задерживающего устройства на время , умножителя и интегратора (Рис.1)

Рис. 1

Это устройство вычисляет для заданного одно значение функции взаимной корреляции. Для получения многих значений необходимо либо повторить процедуру для различных , либо использовать параллельную цепь задерживающих устройств. Если время поступления сигнала известно, то достаточно вычислить лишь , однако чаще всего время прихода является случайной функцией, и поэтому приходится анализировать всю функцию , принимая решение о наличии сигнала по её максимуму.

Можно построить схему ВКУ в виде простого линейного устройства с постоянными параметрами, на выходе которого получают непрерывную функцию , а временная задержка сигнала вносит соответствующую задержку в выходной сигнал.

Такое устройство называют линейным фильтром. Связь входного и выходного сигналов в линейном фильтре описывается интегралом свертки

где -импульсная характеристика фильтра.

Если подобрать линейную цепь так, чтобы напряжение на её выходе с точностью до произвольного множителя k воспроизводило бы взаимокорреляционную функцию (с некоторым запаздыванием ), т.е.

то её импульсная характеристика должна удовлетворять равенству

Это может быть проиллюстрировано на следующем примере (см. рис. 2)

Импульсная характеристика является зеркальным отображением сигнала

Рис. 2

Линейная система, имеющая такую импульсную характеристику, называется оптимальным фильтром. Она выполняет операцию вычисления взаимной корреляционной функции. Чтобы сигнал на выходе появился после прихода сигнала, должно выполняться условие Оптимальный фильтр является лучшим по критерию получения на выходе максимального отношения сигнал-шум при заданной форме сигнала и интенсивности белого шума на его выходе.

При обнаружении узкополосного радиосигнала

где -медленно меняющиеся огибающая и фаза узкополосного сигнала, импульсная характеристика фильтра должна иметь вид

где звездочка означает комплексно-сопряженную функцию. Если сигналы имеют очень сложную форму или имеют очень большую длительность, то построение оптимальных фильтров для них является очень сложной задачей.