Основы радиоэлектроники и связи

4. Элементы статистической радиотехники : 4.7. Обобщенная линейная фильтрация

4.7.1 Принципы обобщенной линейной фильтрации

При рассмотрении задачи обнаружения сигнала на фоне помех обсуждался случай суммы сигнала и шума (аддитивная смесь). При этом фундаментальной основой обработки сигналов является принцип суперпозиции: частотный метод, метод интеграла наложения (свертки) и т.д. Однако часто встает задача обработки сигналов, представляющих собой либо произведение (мультипликация), либо свертку сигнала и помехи:

или

Для таких сигналов принцип суперпозиции неприменим.

Для применения линейных принципов фильтрации с помощью некоторого преобразования приводят мультипликативный сигнал к сумме сигналов:

Обозначим оператор преобразования из произведения в сумму символом D. Тогда:

Известно, что только логарифмирование (при и ) произведения дает сумму логарифмов, т.е. D=log :

Ясно, что и по форме и по спектру и отличаются от и . Однако сумму сигналов можно преобразовать с помощью линейных фильтров, а затем перейти от сигнала на выходе линейной цепи к функции обратной логарифмированию (потенцированию).

Пример нелинейной системы, подчиняющейся принципу суперпозиции представлен на рис.1

Рис. 1

Здесь

Операции и являются нелинейными. Основная линейная обработка (например, согласованная фильтрация) осуществляется линейным фильтром. Применение такого вида обработки сигнала целесообразно применять в тех случаях, когда линейная цепь разделит по частотному признаку сигналы и и изменит соотношения между и , например, при решении задачи выделения сигнала на фоне мультипликативной помехи. Так если спектры функции и не перекрываются, а линейная цепь пропускает только сигнал , то на выходе системы получится сигнал .

Так как соотношения между зависят только от , а от , то именно в этом смысле в этой сугубо нелинейной обработке применяется термин “обобщенный принцип суперпозиции ”.

Пример 1. Обработка сигналов телевизионного изображения.

Сигнал, образующий телевизионное изображение, является произведением низкочастотного сигнала , определяющего яркость фона экрана, и высокочастотного сигнала , определяющего контрастность изображения. По своей природе эти сигналы действительные и ненулевые (рис.2).

Рис. 2

Спектральная плотность флуктуации фона примыкает к нулевой частоте, а флуктуации контрастности находится в области частот (рис.3).

Рис. 3

При усилении такого сигнала выгодно ослабить влияние изменения фона и подчеркнуть изменения контрастности. Спектр мультипликативного сигнала имеет вид (рис.4).

Рис. 4

Спектр сигнала не поддается линейному разделению. Однако после логарифмирования сигнала спектры сигналов и будут разделены, это показано на рис.5.

Рис. 5

Применив линейную цепь с малым коэффициентом передачи в области частот , определяющих яркость, можно снизить относительный уровень изменения этого сигнала. АЧХ линейной цепи, позволяющей сжать динамический диапазон изменения яркости должна иметь вид (рис.6).

Рис. 6

Такая обработка позволяет осуществить одновременное уменьшение диапазона изменения яркости и повышения контрастности изображения.

Рассмотрим случай обобщенной линейной фильтрации для сигнала, образованного сверткой двух других, т.е. .

Простого оператора, осуществляющего преобразование свертки в сумму, нет. Однако, можно свертку сигнала преобразовать в произведение, а затем произведение в сумму. Осуществив операцию прямого преобразования Фурье для свертки, получим спектр сигала в виде произведения спектров сигналов, т.е.

.

Затем, после логарифмирования имеем

.

Обратное преобразование Фурье дает сигнал вида :

.

После линейной обработки получаем сигнал , который после антилогарифмирования приводит к произведению

вида , а на выходе имеем:

,

причем и изменены по сравнению с и в требуемом соотношении. Часто на практике ограничиваются получением и анализом лишь сигналов и , содержащих в себе всю информацию о сигналах и .

Главная особенность здесь – замена спектральной плотности логарифмом от неё.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004